Otra matemática es posible
La matemática no es la matemática. También en este terreno se disputan concepciones, sentidos y responsabilidades. Concepciones sobre el conocimiento, sobre la enseñanza, sobre los aprendizajes; sentidos sobre el valor formativo que tiene para niños y jóvenes el contacto con cierta disciplina; responsabilidades de los docentes, del Estado, de los padres y de los propios estudiantes. Nuestra posición es una entre otras.
Entendemos la escuela como un ámbito en el que los niños y jóvenes puedan internarse en el conocimiento para asomarse, en alguna medida, a esa íntima relación –oculta en el trajinar cotidiano–entre las realidades construidas por las sociedades y los conocimientos (ideas, teorías, técnicas, lenguajes, estrategias, objetos) elaborados por esas mismas sociedades para vérselas con sus problemas. La escuela es –quisiéramos que fuera– un lugar para comprender el mundo a través del conocimiento.
Desde esta perspectiva, produce una fuga infinita de sentidos la maniobra que separa los conocimientos por un lado y los problemas y las prácticas por otro. Trabajamos por la preservación de las relaciones entre problemas y conocimientos en la escuela; por que sea la actividad matemática misma –sus cuestiones, sus formas de representación, sus maneras de validar resultados, sus mecanismos de producción de ideas– la que se constituya en el asunto principal de la enseñanza.
Inventar las propias reglas
“La matemática es la matemática”, “dos más dos son cuatro acá y en la China”, “el problema es cómo te explican”. Las frases encierran una separación entre métodos y contenidos, instalada en conversaciones de aquí y de allá. Veamos si alcanza un peque- ño ejemplo para ponerla en cuestión. En 4° o 5° grado, los chicos deben aprender crite- rios de divisibilidad, entre otros el de divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son divisibles por cuatro. La tarea a la que se los suele convocar consiste en aplicar el criterio a diversos números para decidir si son divisibles por 4: deben inspeccionar las dos últimas cifras y pronunciarse. Pero esto no alcanza para explicar por qué funciona el criterio. Tampoco permite comprender por qué no se puede aplicar un criterio similar para la división por 3, por ejemplo, y menos aún contribuye a imaginar que existen otros criterios posibles para la división por 4 que grandes y chicos podrían inventar si supieran dónde está el fundamento del funcionamiento de los criterios de divisibilidad. Sin embargo, con un poco de trabajo matemático se podría descubrir la piedra del escándalo: los criterios se basan en la organización de nuestro sistema de numeración y es esa misma idea la que contiene potencialmente la posibilidad de inventar criterios.
Las alternativas esbozadas no pueden considerarse métodos distintos para es- tudiar lo mismo porque, justamente, no se aprende lo mismo cuando se trabaja sobre los fundamentos. Y sobre todo, no quedan las personas en la misma posición con relación al conocimiento: en un caso aplican ciegamente una regla, en el otro adquieren una herramienta que les permite inventar sus propias reglas. Es una diferen- cia profunda en términos de autonomía intelectual. ¿Y para qué sirve conocer los fundamentos de los criterios? No encon- traremos la respuesta en los avatares de la vida cotidiana. Encadenar relaciones y arribar a conclusiones nuevas sirve para tener, en alguna porción, la experiencia de fabricar ideas.
Cierta relación con la verdad
“En tu ejemplo no es verdad pero en el mío sí”, respondió un joven cuando le ofrecimos un contraejemplo para convencerlo de que renunciara a una afirmación que realizaba. Respuestas como ésta, son frecuentes en las clases de matemática. ¿Qué enseñan? Como toda disciplina, el trabajo con la matemática ofrece un mo- do específico de construir una relación con la verdad. Radica ahí, desde nuestro punto de vista, un aspecto central de su valor formativo. Y en esa construcción la producción de explicaciones por parte de los estudiantes resulta ineludible. Lejos de ser una adquisición espontánea, lograr que los alumnos expliquen –que encaden deductivamente sentencias para validar su trabajo– será el resultado de invitarlos a participar de manera sostenida de un escenario en el que intercambiar explicaciones, revisarlas, comparar unas con otras analizando su claridad y su precisión sea una práctica cotidiana.
Entremos más en el ejemplo. Este alumno, a quien el contraejemplo no parecía perturbarlo, afirmó: “24.513 es múltiplo de 3 porque termina en 3”. Lo único que no es cierto es el término “porque” (24.513 es múltiplo de 3 y termina en 3). No se deduce del hecho de terminar en 3 el ser múltiplo de 3, es decir, el carácter de necesidad típi- co de una explicación matemática, no está presente en su afirmación. Hay verdad pero no están las razones de la verdad. Señalemos también que cuando este estudiante afirma que en su ejemplo el argumento es válido, está mostrando que para él la explicación no tiene por qué tener un carácter universal y, por lo tanto, tampoco tiene un carácter anticipatorio: frente a otro caso, la regla no será suficiente para decidir correctamente. Estos tres componentes –el ca- rácter necesario, universal y anticipatorio– son elementos constitutivos de una explicación matemática que los alumnos deberán ir elaborando como parte de su trabajo.
¿Rechazar la idea errónea?
Una idea errónea: ¿es errónea, o es una idea? La pregunta es tramposa: una idea errónea es una idea que hay que revisar. Pero es interesante detenerse en las con- diciones en las que se discute en las aulas sobre propuestas que los alumnos elabo- raron como resultado de un trabajo, que tienen una historia y que, en muchos casos, son verdaderas en algún contexto que los chicos han estudiado. Su extensión o gene- ralización suele llevarlos a error.
Podríamos hacer un gran listado de sentencias falsas que los alumnos afirman como verdaderas y cuya revisión amplía sentidos y profundiza la comprensión. ¿En qué consiste tal revisión? Tomemos por ejemplo la muy difundida creencia se- gún la cual el producto de dos números es mayor o igual que cada factor. Si se consi- deran solamente los números naturales, la proposición es verdadera. La validez se echa a perder cuando se introducen los números racionales (fracciones o decimales para la mayoría laica). Discutir las propiedades que se conservan y las que se pierden cuando el universo de los números se extiende, analizar por qué razones deja de ser cierto algo que formó, de manera nota- blemente estable, parte del mundo de cer- tezas en el cual los alumnos han navegado, convocar a los chicos a establecer las con- diciones en las que el producto es mayor, menor o igual que los factores los introduce en una actitud de búsqueda, de formulación de conjeturas, de intercambios, de producción de argumentos. Trabajar la idea antes que rechazarla de plano, hay ahí una fábrica de relaciones y razones.
¿Es viable?
Entrar en un diálogo intelectual con los estudiantes requiere por parte del do- cente construir una posición (y una dis- posición) sobre la base de una práctica en la que tenga posibilidades tanto de interpretar las producciones de sus es- tudiantes como de proyectar interacciones a partir de esas interpretaciones. Problematizar el conocimiento matemático supone identificar modos de hacer, len- guajes, expresiones que tienen que tener algún lugar en las reflexiones que se realizan en las aulas. Estas tareas no son socialmente visibles hoy y lograr que sean constitutivas del trabajo docente requie- re cambios sustantivos en la organiza- ción escolar. La mirada se dirige así hacia la implementación de políticas públicas que generen condiciones institucionales que las hagan posibles. Distintas investi- gaciones muestran que el análisis (fuera del aula) por parte de los docentes de las conversaciones y de las producciones escritas que tienen lugar en las aulas resulta una vía potente para desnaturalizar el co- nocimiento y tratar problemas de inclu- sión intelectual. Lo común, lejos de dirimirse en la discusión sobre si enseñar tal o cual contenido, pasaría por brindar a to- dos (docentes y alumnos) la oportunidad de dejar sus propias marcas en el conocimiento. Con trabajo, con estudio, con desafíos, con incomodidades y con placer. g
*Directora de la Licenciatura en Enseñanza de la Matemática para Educación Primaria de la UNIPE.
por Patricia Sadovsky*
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