Matemática- Para tener en cuenta.

DIRECCION GENERAL DE CULTURA Y EDUCACION.
SUBSECRETARIA DE EDUCACION.
DIRECCION PROVINCIAL DE EDUCACION PRIMARIA.
DIRECCION DE GESTION CURRICULAR
"Mejorar los aprendizajes"
Área: MATEMÁTICA.



Equipo: Teresita Chelle
Patricia García
Gloria Robalo
Inés Sancha
María Cecilia Wall
Andrea Novembre (coord.)


GACETILLA 1: La Evocación de Conocimientos en una clase de 6º grado1 2

Introducción:
En esta gacetilla reproducimos algunos fragmentos del registro de una clase de repaso llevada a cabo en un 6° año, después del adelantamiento y extensión del receso de invierno de 2009 que ocasionó que las escuelas estuvieran un mes sin clases.
No estamos proponiendo una clase “ideal” que los maestros deberán intentar imitar con sus alumnos, se trata de una clase que, como las de todos los docentes, tiene aspectos a destacar y otros a mejorar, y que nos sirve como ejemplo para empezar a pensar algunas cuestiones en torno a la enseñanza.
¿Por qué proponemos analizar el extracto de una clase?
Poder poner la lupa sobre algunos hechos de la clase permite ubicarla como objeto de reflexión. Esto da lugar, entre otras cuestiones, a pensar en el tipo de interacciones que promovemos y en sus consecuencias, anticipar cuál es el tipo de actividad matemática que nuestros alumnos pueden desarrollar frente a un problema, pensar intervenciones que consideramos más eficientes en función del grupo, etc.

El trabajo realizado por estos alumnos
Como trabajo para hacer durante el receso, la maestra preparó una serie de actividades, entre las que estaban las siguientes:
Repaso
Realizá las siguientes actividades:
1)Hacé un listado de los temas que aprendiste hasta ahora.
2)Para cada tema, escribí un problema que te haya resultado fácil y otro que te haya parecido difícil.
3)Escribí para cada uno por qué te resultó fácil o difícil.
4)Explicá de qué manera se pueden resolver los fáciles y de qué manera los difíciles.
5)Volvé a leer todos los problemas que se resolvieron y armá grupos de problemas parecidos. Explicá en qué se parecen.
6)Consultá todos los problemas que resolvieron e inventá una evaluación que tenga un problema de cada tipo. Resolvela.

Creemos importante aclarar que ni los alumnos, ni la maestra3 habían trabajado con actividades de este tipo anteriormente. Los fragmentos de registro de clase seleccionados para analizar corresponden a lo trabajado en torno al ítem 1 de las actividades de repaso.

¿Cómo analizaremos el registro?
Hay muchísimas cuestiones que merecen ser analizadas en un registro, pero en este caso nos detendremos en aquellos aspectos vinculados con el estudio de los alumnos. Para ello, retomaremos la reflexión sobre la evocación4, una de las estrategias de enseñanza que permite volver a hacer presentes en las aulas contenidos que han sido trabajados con anterioridad. Se trata de situaciones que dan una oportunidad a los alumnos para revisar, recordar, repensar, estabilizar y familiarizarse con conceptos que ya han aprendido y que los introduce en la práctica de estudiar matemática, como un tipo de trabajo personal y autónomo.
Repensar los problemas que han sido resueltos en clases anteriores en torno a un concepto o a un campo de problemas permite evocar acciones sin realizarlas. Al buscar la forma de decir colectivamente qué sucedió, qué problemas fueron tratados, qué se estudió, qué tareas y actividades se propusieron y realizaron, los alumnos vuelven a pensar sobre los problemas y procedimientos de resolución utilizados. Esta actividad reviste una significación diferente a la de resolver: los alumnos tienen que pensar en el sentido de los problemas, más que en los detalles de su resolución; tienen que pensar por qué algunas estrategias de resolución son válidas, más que en el resultado5.

La evocación en el aula:
Con la intención de retomar el trabajo realizado, la docente propone a los alumnos, en una primera instancia armar un listado con los temas aprendidos, para luego elaborar un “machete” que contenga los aspectos fundamentales de cada contenido. En la primera parte de la clase sucede el siguiente intercambio:

M: maestra Al/Als: alumno/alumnos (en caso de desconocerse el nombre)

M: Vamos a empezar. ¿Se acuerdan que yo les pedí que hicieran el listado de los temas que habíamos aprendido desde principio de año hasta ahora? ¿Tienen el listado?
Als: ¡Si!
M: ¿Qué vamos a hacer hoy? Vamos a hacer un machete.
Al: ¡Vamos! (Risas)
M: ¿Para qué sirve un machete?
Al: ¡Para las pruebas!
(Risas)
M: ¡Para las pruebas! Tomemos eso… Para las pruebas sirven, pero ¿para qué?

Al: Para estudiar…
M: Para estudiar. El machete me sirve a mí para aprender a armarlo y que me sirva después como una guía de estudio. Entonces, vamos a aprender a hacer un machete para tener todos los contenidos que necesito saber para mi prueba y con ejemplos para no olvidarme. Con esto puedo evitar tener que buscar cada tema por la carpeta, por el libro, por todos lados y lo tengo en una hoja. ¿Estamos?
Als: Si…

Disponer de un tiempo anterior a la clase para que comiencen a preparar este trabajo genera mejores condiciones para que todos los alumnos puedan participar del intercambio que sucede en el momento de la evocación. Recordemos que el objetivo de la docente se centra en que los alumnos recuerden y repasen los contenidos que estudiaron durante la primera mitad del año. Estos niños nunca realizaron una tarea de este tipo, por lo que no tenían muy claro qué hacer ni cómo se iba a usar lo que iban a traer de tarea. De hecho, no parecía a primera vista, un trabajo interesante porque para muchos de los alumnos alcanzaba con hacer una lista copiada de los títulos de la carpeta.
En este primer momento de la clase, la maestra deja en claro qué van a hacer y por qué: “Entonces, vamos a aprender a hacer un machete para tener todos los contenidos que necesito saber para mi prueba y con ejemplos para no olvidarme. Con esto puedo evitar tener que buscar cada tema por la carpeta, por el libro, por todos lados y lo tengo en una hoja.”. Situar a los niños en la tarea a resolver es fundamental para que el control no quede solo del lado del docente, sino que sea compartido. Los alumnos saben qué se va a hacer y por qué, no son ajenos a su aprendizaje.
La confección del “machete” planteada por el docente permite a los niños organizar el repaso. Este no necesariamente se realiza siempre antes de una prueba, sino que puede proponerse en cualquier momento del proceso de enseñanza e irse completando a medida que van resolviendo diferentes problemas en torno a un concepto. Su función es que los alumnos resuman los aspectos más importantes de un contenido o de un conjunto de problemas tratados en clase, desde una elaboración personal; en él pueden incluir definiciones, ejemplos y aclaraciones. En su producción escrita el alumno también puede anticipar ciertos errores, por ejemplo “no se puede descomponer el divisor en una suma”, dicho en palabras o con ejemplos. Se trata de que cada niño pueda escribir su “machete” de la forma en que le resulte más fácil y clara de entender.

La clase continuó de la siguiente forma:


A medida que los alumnos dictan a la maestra qué aprendieron, van leyendo títulos de la carpeta: Lectura y escritura de números, potencias de diez, cálculos mentales, etc.
Estos primeros enunciados aún no están formulados en términos de aprendizajes, los niños se valen de los títulos de las tareas como herramientas de organización de los conocimientos que fueron construyendo en la actividad de resolver problemas. Pero la organización que viene dada por los títulos representa una clasificación preestablecida de los contenidos y no da cuenta de los aprendizajes personales que los niños pudieron realizar sobre ellos, por ejemplo, “aprendí que para multiplicar por diez, cien y mil, es más rápido agregar un cero, dos ceros o tres ceros al número que querés multiplicar”.
Todo el trabajo propuesto no puede llevarse adelante si el docente no prevé la instalación de títulos o registros escritos que remitan al nombre matemático del contenido que se está tratando. Es decir, los títulos como “Yo solito” o “Resolvemos sin mirar” no dan pistas a los niños sobre lo que trabajaron. Algunos títulos, que explicitan el contenido que se trabaja, presentan el riesgo de sugerir a los niños la estrategia o la operación que resuelve los problemas propuestos. En ese caso puede optarse por escribir el título luego de la resolución o escribir una conclusión al finalizar que dé cuenta de los contenidos matemáticos puestos en juego.
En un pasaje posterior, la docente va interviniendo para que puedan identificar qué aprendizajes se incluyen en algunos de esos grandes títulos:
M: Camilo.
Camilo: Los triángulos.
M: Nuria.
Nuria: Ángulos.
M: ¿Qué de ángulos? A trasladarlos vimos, y eso ya está.
M: Lola.
Lola: Cómo construir un triángulo.
M: A ver, puse triángulos y ahora pongo construcción.
M: ¿Algo más?
A: Polígonos.
Juana: Traslación de figuras con regla y compás.
M: Sí, pero tiene que ver con los ángulos.
(Juana asiente).
M: Brian.
Brian: Ángulos interiores de un polígono.
M: Rodri.
Rodrigo: Justificación.
M: ¡¡Justificación!!
Los chicos revisan sus carpetas y cuadernos mientras la maestra escribe en el pizarrón.
M: Dani.
Dani: Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.
M: Propiedades conmutativa… Vamos a poner propiedades.
As: Pero ya está eso…
M: Bueno, lo dejamos ahí incluido. ¡Facu!

Con la pregunta ¿qué de ángulos?, la maestra promueve que Nuria especifique qué aspectos retuvo de las actividades matemáticas resueltas bajo ese título o qué resultó importante para ella. La maestra también realiza intervenciones que apuntan a que los niños establezcan relaciones entre los aprendizajes que van identificando. Al decir: … puse triángulos, ahora pongo construcción, está informando a sus alumnos que la actividad de construcción es un conocimiento que se vincula con el contenido triángulos. Lo mismo ocurre cuando Juana propone traslación de figuras con regla y compás, la docente informa que es un contenido que se relaciona con los ángulos.
Hay también algunos “aprendizajes” sobre los que la maestra no decide intervenir, pues no es su propósito en ese momento. Cuando Brian dice haber aprendido “ángulos interiores de un polígono”, no puede saberse a qué se refiere, sin embargo, la docente no indaga en ese momento. Si lo hiciera a propósito de cada afirmación, este momento de la clase se extendería demasiado en el tiempo.
Resulta interesante analizar cómo a medida que transcurre el intercambio, algunos niños van “despegándose” de los títulos de las tareas que proponían en el comienzo de la clase, para dar lugar a la identificación de aprendizajes que constituyen prácticas propias del trabajo matemático. Es así como Rodrigo puede reconocer a la justificación como uno de los aprendizajes realizados. La “justificación” no corresponde a ningún contenido que pueda identificarse con un título de la carpeta. Se trata del reconocimiento de un aprendizaje acerca del quehacer matemático en esa clase: “para hacer matemática tenemos que justificar y aprendimos a hacerlo”.
A medida que los niños van apropiándose de este trabajo de evocación de lo aprendido, la docente puede promover la reorganización de los contenidos propuestos por los alumnos, seleccionando sobre cuáles va a trabajar con mayor nivel de profundización. Por ejemplo, discutir si las potencias de 10 y la justificación son contenidos parecidos o diferentes, distinguiendo los contenidos matemáticos, como las potencias de 10, de los que se refieren al trabajo que es propio de la matemática, como la justificación.
Al finalizar la memoria colectiva de lo aprendido durante la primera parte del año, la maestra propone a los niños que copien el listado. El listado así confeccionado no es suficiente para evocar los aprendizajes que los niños realizaron, es necesario introducirlos en el análisis de alguno o todos los contenidos enunciados, según la decisión del docente. El nombre de un concepto no contiene los conocimientos que de él se desprenden, principalmente porque éstos son personales. No se trata de que vuelvan a resolver los problemas de cada contenido, sino de volver a mirar lo que hicieron. Con este propósito, la docente indica que trabajen en parejas para escribir sobre uno de los contenidos de la lista, estrategias de cálculo:
“Van a tener que escribir una oración chica donde diga qué es una estrategia de cálculo… Van a escribir qué es una estrategia, cómo se resuelve un cálculo mental y un ejemplo”.

Para responder a la consigna, los alumnos trabajan mirando sus libros y carpetas6:

Pareja 1:
Una de las alumnas dicta y las dos escriben:
“Una estrategia es una forma más fácil de hacer una cuenta.”
Pareja 2:
Dos alumnas charlan. Una le dice a la otra: “Descomponés el número para que la cuenta se te haga más fácil.” Van a escribir y se detienen. La que habló dice: “¿Cómo se resuelve? Podés poner, descomponés el número para que se te haga más fácil.” La otra nena acota: “…alguno de los números…”
Pareja 3:
M: Chicas, ¿ustedes ya pensaron qué es una estrategia de cálculo?
Al1: Una estrategia de cálculo es una forma más rápida de resolver un cálculo.
M: Ah. ¿El ejemplo ya lo tienen?
Al2: Por ejemplo descomponiendo el número para que la cuenta se haga más fácil.
M: Aha… ¿y el ejemplo?
Se sonríen y miran en el libro.
Al1: Por ejemplo… (le muestran un ejercicio que tienen resuelto en el libro, donde calcularon 1520 × 12) 1520 por 12 es lo mismo que hacer 20 por 12 y 1500 por 12 y después lo sumás y te da el resultado.
Pareja 4:
M: ¿Qué están pensando?
Al: Cálculos mentales… eh… estrategias de cálculo es cuando descomponés un número para hacer una distinta estrategia pero siempre te va a dar el mismo resultado que hacer la cuenta común.

Pareja 5:
Al1: Para nosotros la estrategia de cálculo es una forma de facilitar la cuenta haciendo una o más cuentas y descomponiendo el número. Y ahora estamos haciendo cómo se resuelve… y estamos hablando.
(Hablan entre ellos)
Al1: Se resuelve…
Al2: Descomponiendo los números.
Pareja 6:
Están hablando.
Al: Entonces ponemos…
Al: …ponemos 60 por 10 y 60 por 20 igual a esto… Acá da 600 y acá 1200 (lo dicen entre los dos) y sería… 1200 más 600, 1800.
(En la carpeta tiene escrito
60 × 10 = 600 60 × 20 = 1200
60 × 30 = 600 + 1200 = 1800)
Al: Era fácil.
Al: Claro. Podemos poner otro número más complicado…
Pareja 7:
Al1: La estrategia se resuelve…
Al2: desarmando, descomponiendo los números. Por ejemplo 24 por 12 es 24 por 6 más 24 por 6.
Al1: O si no 520 por 24. Tenés que ir descomponiendo el 24. Hacés 520 por 20, después 520 por 4 y a lo último sumás todos los resultados.
M: ¡Muy bien! ¡Bien, Matías!
Pareja 8:
Al: Usando una distinta estrategia siempre te va a dar el mismo resultado.…

Es interesante observar cómo los niños pueden reflexionar sobre los cálculos sin volver a resolverlos, los miran con el propósito de inferir qué hay de general en la resolución de todos ellos y producir una definición de estrategia de cálculo lo suficientemente sintética como para incluirla en el “machete”. Cuando buscan ejemplos, tampoco se centran en la resolución misma, intentan encontrar el cálculo que mejor “muestra” la explicación del concepto que han escrito: “Era fácil. Claro, podemos poner otro número más complicado”.
Una cuestión a destacar es que en esta clase se habla de “estrategias de cálculo” refiriéndose a “estrategias de cálculo mental”, pero claramente es una forma de comunicación compartida entre los alumnos y la docente.
Como parte de la instancia colectiva, donde la maestra propuso una discusión sobre lo que cada pareja produjo, acordaron escribir un “machete” común, que tuviese en cuenta las diferentes características importantes para retener.
Las estrategias de cálculo mental son formas diferentes para hacer cuentas. Se usan una o más cuentas. Te da el mismo resultado sin importar cómo lo hacés. Se hace desarmando los números y hay muchas maneras de hacerlo.
Por ejemplo, para hacer 1520 × 12 se puede hacer 20 por 12 y 1500 por 12 y después sumás los resultados. También se puede hacer 1520 × 6 y al resultado multiplicarlo por 2.

Cada pareja de alumnos tuvo la oportunidad de hacer su propio “machete” y enriquecerlo con lo que los demás produjeron. Las diferentes experiencias personales y conocimientos de los niños pueden aportar información no tenida en cuenta o no considerada como un aprendizaje. Esto no se puede dar sin un espacio colectivo de intercambio entre los alumnos y el docente.
Así, la maestra introduce a los niños en este tipo de práctica de estudio, de modo que en próximas situaciones cada alumno se encuentre en mejores condiciones de confeccionar su propio “machete” enunciando los aprendizajes que ha realizado desde su experiencia personal.
La síntesis que logran hacer los alumnos y los ejemplos de cálculos que utilizan se corresponden con los conocimientos que han podido construir hasta este momento. Sin duda, los recursos de cálculo que dominan se irán ampliando y las definiciones que producen se irán haciendo más precisas, en clases y años sucesivos. Asumir la provisoriedad y el largo plazo en la construcción de los conocimientos supone aceptar que, por ahora, son estos los aprendizajes que los niños pueden explicitar.

A modo de cierre
En esta gacetilla, hemos propuesto algunas reflexiones sobre la evocación como situación de enseñanza que pretende instalar un tipo de práctica de estudio de la matemática. Sabemos que muchos docentes proponen a sus alumnos actividades de repaso de los contenidos tratados. Estas actividades suelen consistir en volver a resolver algunos problemas seleccionados por el docente, similares a los resueltos en el transcurso de las clases anteriores, sin un espacio para que los niños reflexionen sobre el conocimiento que han puesto en juego en esa resolución, los errores que han sido recurrentes, o los aspectos del contenido importantes para retener. Por eso, hemos considerado necesario detenernos a analizar algunas condiciones didácticas que convierten al repaso en una vuelta a lo aprendido a partir de cierto distanciamiento de las actividades realizadas. En este caso se trata de una vuelta atrás para no volver a hacer, sino para reflexionar sobre lo hecho.
La evocación puede ser utilizada por el docente de muchas maneras, de acuerdo a los objetivos que se plantee. Por un lado, es una estrategia útil para evaluar la apropiación de contenidos por parte de los alumnos, y por el otro es una actividad que funciona como herramienta para recuperar los conocimientos necesarios para encarar el aprendizaje de un nuevo contenido que los involucren.
Del mismo modo, pensamos que el análisis de los fragmentos del registro de clase nos permite tomar distancia del lugar de quien da la clase para mirar qué pasa con ella. Esta posición nos da la posibilidad de mirar a nuestros alumnos en clase y a nosotros enseñando, nos da la oportunidad de evaluar diversas posibilidades de acción y detectar problemas. Se trata entonces, de reflexionar sobre los diferentes procesos que ocurren con el objetivo de mejorar nuestras prácticas de enseñanza.